Bài viết này cung cấp một đề ôn thi học sinh giỏi Quốc gia môn Vật lý, trong đó có một chủ đề quan trọng: sự dẫn điện của kim loại. Đây là một trong những nội dung cốt lõi trong các kỳ thi học sinh giỏi, yêu cầu sự hiểu biết sâu sắc về các nguyên lý vật lý và khả năng áp dụng chúng vào các bài toán thực tiễn.
Trong phần này, chúng ta sẽ đi sâu vào các khái niệm liên quan như mật độ dòng điện, định luật Ohm, hiệu ứng Hall, và mô hình Drude trong cơ học lượng tử. Những kiến thức này không chỉ giúp học sinh ôn tập hiệu quả cho kỳ thi mà còn cung cấp nền tảng vững chắc để hiểu về các hiện tượng vật lý trong thực tế.
Các bài toán trong đề thi không chỉ đòi hỏi kỹ năng tính toán mà còn yêu cầu tư duy logic, khả năng phân tích hiện tượng vật lý, và áp dụng linh hoạt các công thức. Đặc biệt, chủ đề sự dẫn điện của kim loại đóng vai trò quan trọng trong ngành điện tử, kỹ thuật và công nghệ nano.
Ngòa ra còn có các chủ đề khác như Mô hình phân tử chất khí, Mạch điện một chiều và Các định luật bảo toàn trong cơ chất điểm.
Hãy cùng khám phá và chinh phục các bài toán trong đề ôn thi học sinh giỏi Quốc gia môn Vật lý để nâng cao kỹ năng giải quyết vấn đề và chuẩn bị tốt nhất cho kỳ thi sắp tới!
PHẦN 1. ĐỀ ÔN THI HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA MÔN VẬT LÍ - SỰ DẪN ĐIỆN CỦA KIM LOẠI
Bài toán 1 (10 điểm)
Bài toán này bao gồm ba phần độc lập.
1A (3.5 điểm)
Một vật có dạng hình lập phương với một khoang rỗng hình cầu có bán kính \( R \) được khoét ở trung tâm. Bên trong khoang cầu, tại đáy, có một đĩa nhỏ không chuyển động với kích thước hình học không đáng kể.
Tìm vận tốc ngang tối thiểu cần tác động lên đĩa để vật hình lập phương có thể bật lên khỏi mặt bàn trong quá trình chuyển động tiếp theo, với mọi tỷ lệ khối lượng có thể giữa lập phương và đĩa.
Hệ thống không có ma sát. Hãy xác định tại giá trị nào của tỷ số khối lượng \( \frac{M}{m} \) thì vận tốc tối thiểu này đạt được.
1B (4 điểm)
Điện trở \( R = 2.0\ \Omega \) được nối với một số vô hạn các nguồn điện như trong hình bên phải. Xác định cường độ dòng điện chạy qua điện trở \( R \).
Các suất điện động và điện trở trong của các nguồn được biết như sau:
\[ \varepsilon_1 = 2.0 \text{ V}, \quad r_1 = 1.0\ \Omega, \quad \varepsilon_2 = 1.0 \text{ V}, \quad r_2 = 2.0 \ \Omega. \]
1C (2.5 điểm)
Trong hình bên phải, ta thấy vật \( AB \) và ảnh của nó \( A'B' \) qua một thấu kính mỏng.
Bằng phương pháp vẽ hình, hãy xác định:
- (0.5 điểm) Tâm quang học của thấu kính.
- (1 điểm) Mặt phẳng của thấu kính.
- (0.5 điểm) Tiêu điểm chính của thấu kính.
Thấu kính này là hội tụ (lồi) hay phân kỳ (lõm)? Hãy ghi câu trả lời của bạn. (0.5 điểm)
Bài toán 2 (10 điểm)
Dẫn điện của kim loại (10 điểm)
Định luật Ohm
Chất dẫn điện là các vật liệu, thường là kim loại, trong đó có thể tồn tại dòng điện khi có mặt một điện trường ngoài.
Định luật liên hệ giữa cường độ dòng điện \( I \) chạy qua chất dẫn với hiệu điện thế \( U \) đặt vào hai đầu của nó được Georg Ohm (1787-1854) phát hiện qua thực nghiệm và có dạng:
\[ I = \frac{U}{R} \quad (1) \]trong đó \( R \) được gọi là điện trở của dây dẫn.
Xét một phần tử nhỏ của vật liệu kim loại có chiều dài \( l \) và tiết diện \( S \), hai đầu chịu hiệu điện thế \( U \). Gọi \( \sigma \) là độ dẫn điện riêng của chất, là đại lượng nghịch đảo của điện trở suất \( \rho \). Khi đó, điện trở và cường độ dòng điện chạy qua phần tử này được viết dưới dạng:
\[ R = \rho \frac{l}{S} = \frac{1}{\sigma} \frac{l}{S}, \quad I = jS \quad (2) \]trong đó, mật độ dòng điện \( j \) là lượng điện tích đi qua một đơn vị tiết diện trong một đơn vị thời gian.
Vì cường độ điện trường \( E = \frac{U}{l} \), ta có dạng vi phân của định luật Ohm:
\[ j = \sigma E \quad (3) \]Xét cùng hướng của vector cường độ điện trường và vector mật độ dòng điện, ta viết lại phương trình dưới dạng vector:
\[ \vec{j} = \sigma \vec{E} \quad (4) \][1 điểm] Xuất phát từ định luật Joule-Lenz, hãy xác định mật độ công suất nhiệt \( P_V \) sinh ra trong vật dẫn, tức là lượng nhiệt sinh ra bởi dòng điện trên một đơn vị thể tích \( 1 m^3 \) trong một đơn vị thời gian \( 1 s \). Biểu diễn kết quả theo \( E \) và \( \sigma \).
Mô hình Drude
Sau khi phát hiện ra electron vào năm 1900, nhà vật lý người Đức Paul Drude đã đề xuất lý thuyết cổ điển về tính dẫn điện của kim loại.
Theo lý thuyết này, các electron có mật độ số \( n \), khối lượng \( m \) và điện tích \( -e \) có thể di chuyển tự do trong mạng tinh thể ion của kim loại, thỉnh thoảng va chạm với các ion.
[1 điểm] Xác định vector vận tốc trung bình có hướng của electron \( \mathbf{u} \). Biểu diễn kết quả theo \( e, E, m, \tau \).
[1 điểm] Mật độ dòng điện trong mẫu vật được xác định bởi thành phần vận tốc trung bình song song với cường độ điện trường ngoài \( E \). Chứng minh định luật Ohm trong mô hình đơn giản này và xác định độ dẫn điện riêng \( \sigma \) của kim loại. Biểu diễn theo \( e, n, m, \tau \).
[1 điểm] Xác định lượng năng lượng động học \( Q_V \) mà electron truyền cho mạng tinh thể trên một đơn vị thể tích \( 1 m^3 \) trong một đơn vị thời gian \( 1 s \). Biểu diễn theo \( e, E, n, m, \tau \).
Hiện tượng điện từ - Điện trở từ
Một trong những hiện tượng điện từ quan trọng là sự thay đổi độ dẫn điện của chất dẫn khi có mặt một từ trường ngoài vuông góc. Hiện tượng này gọi là hiệu ứng điện trở từ.
Theo thực nghiệm, độ lệch tương đối của độ dẫn điện \( \frac{\Delta \sigma}{\sigma} \) khi từ trường có cảm ứng \( B \) không quá lớn được mô tả bởi công thức:
\[ \frac{\Delta \sigma}{\sigma} = \frac{\sigma(B) - \sigma(B=0)}{\sigma(B=0)} = \mu B^v \quad (5) \]trong đó \( \mu \) và \( v \) là các hằng số.
[1 điểm] Tìm các phụ thuộc theo thời gian \( t \) của các thành phần vận tốc electron \( u_x (t) \) và \( u_y (t) \) giữa hai lần va chạm liên tiếp. Biểu diễn theo \( e, E, B, m, t \).
[2 điểm] Mật độ dòng điện trong mẫu vật được xác định bởi thành phần vận tốc trung bình song song với \( E \). Giả sử cảm ứng từ \( B \) đủ nhỏ, tìm các hằng số \( \mu \) và \( v \) trong công thức (5). Biểu diễn theo \( e, m, \tau \).
Hiệu ứng Hall
Năm 1879, Edwin Hall phát hiện ra hiện tượng xuất hiện hiệu điện thế ngang, sau này được gọi là hiệu điện thế Hall, bằng cách đặt dây dẫn có dòng điện chạy qua vào một từ trường ngang không đổi.
Trong mô tả đơn giản nhất, hiệu ứng Hall được mô tả như sau: Giả sử có một dòng điện chạy qua một thanh kim loại do tác động của điện trường ngoài có cường độ \( E \). Khi đặt thanh kim loại vào từ trường ngang yếu có cảm ứng từ \( B \), từ trường này làm lệch hướng chuyển động của electron về một phía của thanh.
Như vậy, lực Lorentz, trái ngược với hiệu ứng điện trở từ, làm cho điện tích âm tích tụ gần một mặt của thanh, trong khi điện tích dương tích tụ ở mặt đối diện. Sự tích tụ điện tích này tiếp diễn cho đến khi điện trường ngang \( E_H \), sinh ra bởi các điện tích đã tích tụ (hướng dọc theo trục \( Oy \), như trong hình), hoàn toàn bù đắp cho sự dịch chuyển ngang của electron trong khoảng thời gian \( \tau \).
Sử dụng mô hình Drude đã trình bày ở trên, hãy giải các bài toán sau. Hãy quan sát kỹ hình 2 ở trên, vì nó biểu diễn hệ trục tọa độ đang được sử dụng và hiển thị hướng của tất cả các véc-tơ.
- [0.5 điểm] Quan sát kỹ hình thứ hai ở trên. Điện tích âm tích tụ gần mặt nào, trên hay dưới?
- [1.5 điểm] Tìm các phụ thuộc theo thời gian \( t \) của các thành phần vận tốc electron \( u_x (t) \) và \( u_y (t) \) giữa hai lần va chạm liên tiếp. Biểu diễn kết quả theo \( e, E, E_H, B, m, t \).
- [1 điểm] Tìm cường độ điện trường Hall \( E_H \). Biểu diễn kết quả theo \( e, E, B, m, \tau \), sau đó theo \( e, j, B, n \).
Khi giải các bài toán này, bạn có thể sử dụng các công thức xấp xỉ sau, áp dụng khi \( x \) nhỏ:
\[ \sin x \approx x - \frac{x^3}{6}, \quad \cos x \approx 1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24} \]Bài toán 3 (10 điểm)
Nhiệt động lực học của khí lý tưởng lượng tử đơn giản
Trong vật lý cổ điển, năng lượng của hệ thay đổi liên tục. Tuy nhiên, trong vật lý vi mô, hầu hết các đại lượng vật lý đều được lượng tử hóa, tức là chúng chỉ có thể nhận một tập hợp rời rạc các giá trị. Sự lượng tử hóa năng lượng có thể dẫn đến các hiệu ứng quan sát được ở quy mô vĩ mô.
Trong bài toán này, ta sẽ xét mô hình đơn giản nhất của khí lý tưởng lượng tử.
Mô hình
Xét một khí gồm \( N \) nguyên tử giống nhau, mỗi nguyên tử có khối lượng \( m \), được đặt trong một bình hình trụ dài \( L \) với tiết diện ngang \( S \). Các nguyên tử chỉ có thể chuyển động dọc theo trục của bình.
Năng lượng động học của nguyên tử được lượng tử hóa, tức là chỉ có thể nhận các giá trị rời rạc xác định bởi:
\[ E_n = n \varepsilon, \quad n = 1,2,3,\dots \quad (1) \]trong đó \( \varepsilon \) là một hằng số đã biết. Giả sử năng lượng động học của nguyên tử được biểu diễn theo công thức vật lý cổ điển.
Bình được đưa vào tiếp xúc với một bộ điều nhiệt sao cho khí trong bình có nhiệt độ \( T \). Giá trị năng lượng động học của từng nguyên tử thay đổi do tiếp xúc với bộ điều nhiệt.
Giả sử mật độ số nguyên tử đủ thấp để có thể bỏ qua các va chạm giữa các nguyên tử.
Ở trạng thái cân bằng nhiệt động, số nguyên tử chiếm mức năng lượng \( E_n \) được xác định bởi hàm phân bố Boltzmann:
\[ N_n = C \exp \left( -\frac{n \varepsilon}{k_B T} \right) \quad (2) \]trong đó \( k_B \) là hằng số Boltzmann, còn \( C \) là một hệ số chuẩn hóa mà bạn cần tự xác định.
Bài toán con:
- [1 điểm] Tìm số nguyên tử \( N_n \) chiếm mức năng lượng \( E_n \). Biểu diễn kết quả theo \( N, \varepsilon, T, k_B \).
- [3 điểm] Tìm biểu thức cho năng lượng nội tại \( U \) của khí. Biểu diễn kết quả theo \( N, \varepsilon, T, k_B \). Xác định công thức xấp xỉ của năng lượng nội tại trong hai giới hạn:
- \( k_B T \gg \varepsilon \) (giới hạn nhiệt độ cao hay giới hạn cổ điển).
- \( k_B T \ll \varepsilon \) (giới hạn nhiệt độ thấp).
- [3 điểm] Tính nhiệt dung mol của khí ở thể tích không đổi. Biểu diễn kết quả theo \( N, \varepsilon, T, k_B \). Xác định công thức xấp xỉ của nhiệt dung mol ở thể tích không đổi trong cả giới hạn cổ điển và giới hạn nhiệt độ thấp. Vẽ sơ đồ đồ thị biểu diễn sự phụ thuộc của nhiệt dung mol vào nhiệt độ của khí.
- [3 điểm] Tìm áp suất \( P \) mà khí tác dụng lên thành bình. Biểu diễn kết quả theo \( N, \varepsilon, T, k_B \). Xác định công thức xấp xỉ của áp suất trong cả giới hạn cổ điển và giới hạn nhiệt độ thấp. Vẽ sơ đồ đồ thị biểu diễn sự phụ thuộc của áp suất vào nhiệt độ của khí.
Khi giải các bài toán này, bạn có thể sử dụng các công thức sau:
\[ \sum_{n=1}^{\infty} x^n = \frac{x}{1-x}, \quad \sum_{n=1}^{\infty} nx^n = \frac{x}{(1-x)^2} \] \[ \exp(x) \approx 1 + x, \quad x \ll 1 \] \[ \frac{1}{1-x} \approx 1 + x, \quad |x| \ll 1 \]PHẦN 2. ĐÁP ÁN CHI TIẾT ĐỀ ÔN THI HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA MÔN VẬT LÍ - SỰ DẪN ĐIỆN CỦA KIM LOẠI
Đáp án Đề ôn thi HSG Quốc gia môn vật lý - Sự dẫn điện của kim loạiPHẦN 3. CÁC ĐỀ ÔN THI HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA MÔN VẬT LÍ CỦA DẠY HỌC SÁNG TẠO
Đề ôn thi HSG Quốc gia và Chọn đội tuyển Quốc tế môn Vật lí – Hiệu ứng Hall lượng tử
